「期权」浮动波动率复制期权较固定波动率对冲策略_详细解读
浮动波动率复制期权较固定波动率对冲策略 使用浮动波动率复制期权较固定波动率的对冲效果好
目前国际市场上通常采用的避险工具有两种：期货和期权。期权与期货的最大区别在于，期权的买方拥有选择在到期日执行或放弃合约的权利。而期货合约一旦选择交割，买卖双方均无放弃合约的权利。
由于行权的差异，期货的收益与损失都是无限的，而期权的买方则是收益无限，损失有限。利用期权对现货头寸避险的好处在于，既能够规避价格下跌的风险，也没有放弃价格上涨获得收益的机会。
保护性卖权策略就是一种比较简单的避险策略，即投资者期初购买标的资产的同时，直接购买欧式卖权（看跌期权）的保险（放心保）策略。由于目前我国期权工具缺位，保护性卖权策略很难实施，不过，通过期权复制的思想可以间接实施该策略。
如何复制期权
动态复制期权，实际上就是用标的资产的线性变化替代期权的非线性变化。也就是说，用期权价格的导数Delta去逼近其价格，但由于标的资产的价格在变化，使得期权价格的导数也在变化，因此这种替代只能维持很短一段时间，需要不断调整标的资产来维持对期权价格的逼近与模拟。
为了平滑价格波动对标的资产模拟期权的影响，我们采用根据期权Delta系数建立相应避险头寸的方法。Delta值是衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度，用公式表示：Delta=期权价格变化/标的资产价格变化。所谓的Delta，是用以衡量期权标的资产变动时，期权价格改变的百分比。
参考期权Delta系数避险的策略，相当于现货头寸持有人先向自己购买一个虚拟的看跌期权，然后在标的资产上使用Delta中性的避险策略对虚拟卖出期权的头寸进行对冲。例如，投资者持有20手看跌期权空头头寸，每手看跌期权多头头寸的Delta值为-0.4，头寸的Delta为+4，那么投资者可以通过持有4手相应标的资产空头来使整体的Delta值保持为0，从而规避20手看跌期权空头头寸的风险。
根据“Black-Scholes模型”（简称BS模型）公式，期权可以通过Delta策略进行复制，达到完美风险对冲的效果。然而在实际市场环境中，无交易成本、连续对冲是不现实的。在间断对冲的情况下，按照Delta策略构建的投资组合存在对冲误差。调整对冲误差必然会影响到对冲成本。对冲成本是因为有交易成本的存在，Delta对冲的频率与对冲成本成正比。提高对冲频率，虽然理论上对冲效果会更好，但对冲成本会随着对冲频率的提高而加大；降低对冲频率，尽管可以降低对冲成本，但理论上却增加了对冲成本。
（狩猎财经期货频道）
现实中，间断对冲模型主要有固定时点对冲模型和区间对冲模型两种，具体如下：
固定时点对冲模型，即每过一固定时段，重新计算期权的Delta值，进而对期权的对冲比率进行调整。固定时点对冲模型因简单易懂、易操作性，在实务中应用较广，具体有如下两种模型：
Leand模型。1985年Leand给出了在考虑交易成本条件下的对冲模型。该模型是在传统BS模型中，将波动率的计算公式加入一个调整因子，该调整因子与交易成本成正比。
其中，λ为按照交易金额计量的交易成本系数， Δt为对冲的时间间隔，以此调整后的带入BS模型，即得Le-Land对冲模型。
Wilmott模型。Wilmott发现在考虑了交易成本后，因不能连续对冲而产生新的风险。为此，他将BS模型中的波动率修改为：
其中， 为按照交易金额计量的交易成本系数，Δt为对冲的时间间隔。
区间对冲模型，即实时计算期权的Delta值，如果Delta值在可容忍的对冲区间（±Δδ）内，则不进行Delta对冲；如果δ值超出了可容忍的对冲区间，则进行Delta对冲。对冲比率有两种：一是一次性将δ值对冲到0；二是采用最小对冲比率，将δ值对冲到容忍区间的边界（±Δδ）。Whalley&Wilmott采用后者，得出区间对冲区间的计算公式：
其中，为期权价值对δ的敏感性， h是对冲主体的风险偏好系数。
期权复制的理论依据
期权复制的理论依据需要从BS定价公式讲起，下面是无息标的资产的看涨期权与看跌期权的理论价格：
其中S为标的资产价格，X为交割价格，r为无风险利率，T为到期时间，σ是波动率，C是看涨期权，P是看跌期权。
如果用几何布朗运动来描述标的资产价格的变动，可得出：
其中，St 是标的资产价格，μ是标的资产的期望收益率，σ是标的资产的波动率，Wt是Wiener过程，是一个随机过程。
（狩猎财经期货频道）
基于标的资产St 的衍生品的价格为ft ，那么，其价格变动可以表示为：
在以上两个等式中，只有Wiener过程是随机项，那么在市场无套利的假设下，可以构建一个瞬时无风险交易组合Π来消除随机项：
其中，是衍生品价格相对于标的资产价格的一阶导数。这样的组合不含随机项，也就是说它是无风险的。那么，根据市场无套利假设，这样的证券组合必须与其他短期无风险证券具有相同的瞬时收益率，也就是无风险收益率。
通过对上面组合头寸的变性，可以构造这样一个组合，即由一个股票的多头头寸与一部分现金流的空头构成：
并且，二者在任意一个时间点的价值之和都刚好等于一份看涨期权的价值。换言之，可以通过部分标的资产的头寸，以及一部分现金流来复制看跌期权。
影响复制成本的因素
复制的实际效果取决于复制成本和复制精度，本文主要讨论影响期权复制成本的几个因素：调仓频率、交易成本、Gamma、波动率、基差，以及对期权模拟费用的影响与可以采取的应对方法。
调仓频率。Delta是衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度。Gamma衡量标的资产价格变动时，期权Delta值的变化幅度。我们在对冲时一般用日终对冲，然后观察Gamma的变化，如果实值期权Gamma变动很大，那么就加大对冲频率，但成本也会增加。当然，对冲时也可以用现货对冲和期货对冲，二者的成本不一样，用期货对冲，资金占用较少。因此在中长期套保中，动态Delta中性对冲策略的交易成本可能较高，应注意选择触发调整的阈值。我们还可以通过区间对冲模型来调整调仓频率，这样可以大大降低交易成本。
交易成本。备兑期权策略可能需要保证金，应注意预留足够保证金以防范风险。复制期权的成本与理论上的BS公式权利金相近，但由于调仓频率不同、行情形成路径不同等因素，复制期权的最大成本为理论权利金的２倍，最小成本在理论权利金的1/3左右。利用股指期货对股票组合进行避险时，会遇到追缴保证金的问题，当期货价格和现货价格同时上涨时，期货账户因亏损会面临追缴保证金的风险，因此必须预留一部分资金来对期货头寸进行保护，这样就会大大降低资金的利用率。
波动率。波动率是表示股票价格变化快慢的一个指标。就期权来说，波动率包含两个意思：一是标的资产价格的历史波动率；二是隐含在期权价格中的标的资产价格的波动率，这个波动率是投资者对期权存续期内标的资产价格波动的一个预测，所以也叫隐含波动率。
（狩猎财经期货频道）
历史波动率是标的资产价格在最近一段时间内价格变化的标准差，即：
其中Pt为t时刻价格，N为样本长度。在实际计算中，N可以取不同的数值，以计算在不同时间区间内的波动率，当然，取值越大，波动率的变化越平缓。
隐含波动率是隐含在期权价格中的标的资产价格的波动率。由于期权价格与隐含波动率直接存在非线性关系，而这种非线性关系主要是由正态分布函数造成的，因此把正态分布函数用多项式近似，就可得到期权价格与隐含波动率直接的线性关系，从而直接求出隐含波动率。Brenner和Subrahmanyam模型（1988），Corrado和Miller模型（1996），Li模型（2005）分别对隐含波动进行了研究。
波动率的变化直接影响期权对冲策略的最终效果，一般而言，期权对冲策略在标的资产价格下降过程中收益率较高。但是，现实中很难提前准确预判波动率，因此有必要讨论波动率可能带来的模拟偏差与相应的解决方法，主要包括以下三方面内容：一是波动率错估的严重性，波动率的估计值偏高或偏低对模拟费用的影响；二是防止波动率错估带来的风险，可以根据波动率的历史值，不断调整数据得到新的波动率；三是计算隐含波动率。
测试波动率高估或低估一定幅度对复制费用带来的影响，发现波动率低估会导致期权复制费用稍微降低，波动率高估会导致期权复制费用稍微增加，然而，无论是高估还是低估，都会很大幅度上增大复制费用的波动，这对复制期权来说非常不利。
为了防止波动率错估的风险，我们选取历史数据收益率的标准差作为波动率时，可以使准确度更高一些。同时，还可以通过Leand模型和Wilmott模型来调整波动率的准确度。在这里，我们还可以使用隐含波动率，最后通过数据测试哪种波动率最好。
基差。以上讨论了几个影响期权复制费用的因素，在复制看涨期权时需要买入标的资产，而复制看跌期权需要卖出标的资产。由于卖出标的资产需要通过融资的方式卖出，不仅融资利率高，而且融资渠道及数量也没保证，因此需要通过期货替代现货复制期权，这样一来，基差就成为很大的一个风险源。负基差对复制看涨期权有利，而正基差对复制看跌期权有利，但不管怎样，近些年基差的变动有很大的随机性，这对复制期权来说风险很大。
不断调整波动率的对冲策略
我们选取沪深300指数作为标的，选择2011年1月4日到2011年9月23日的数据计算其收益率标准差作为波动率，无风险利率设定为3%。选择2011年8月24日到2011年9月23日的实际交易数据，复制期限为20个交易日的看跌期权，Delta每天调整一次。表1是动态复制期权的调整细节，每次再平衡时间点，根据当时的指数计算出期权的Delta（即复制期权所需要持有的指数头寸），累计的借入资金需要付出的利息，以及累计的资金流出，期末，按照指数的持仓量与当前的累计资金净流出计算出模型期权的费用。
由BS公式计算出看跌期权的价格为61.266，根据表1展示的复制看跌期权的流程，计算出看涨期权的模拟价格为66.0624。由此可以看出，复制是有效的。
（狩猎财经期货频道）
表1：固定波动率为0.189961复制看跌期权
选取固定区间长度，及时更新数据，计算其收益率标准差作为波动率。我们分别计算出2011年8月24日至2011年9月23日的波动率分别为：0.189961，0.192934，0.192875，0.193826，0.193838，0.19259，0.192509，0.192774，0.194465，0.193759，0.189928，0.190169，0.188026，0.184189，0.183529，0.18377，0.183092，0.183859，0.182775，0.186627，0.189552，0.189658。根据动态波动率复制的看跌期权的价格为65.9307，其准确度比使用固定波动率复制的看跌期权价格的准确度要高。
表２：动态波动率复制看跌期权
以上介绍了复制看跌期权的常用方法，使用沪深300指数的历史数据，分别采用固定波动率和浮动波动率对固定时点Delta对冲策略进行实证，并计算追踪误差检验此策略的有效性，发现使用浮动波动率对冲的效果要好些，这为券商和机构投资者提供了一种可行的动态对冲策略。
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目前国际市场上通常采用的避险工具有两种：期货和期权。期权与期货的最大区别在于，期权的买方拥有选择在到期日执行或放弃合约的权利。而期货合约一旦选择交割，买卖双方均无放弃合约的权利。
由于行权的差异，期货的收益与损失都是无限的，而期权的买方则是收益无限，损失有限。利用期权对现货头寸避险的好处在于，既能够规避价格下跌的风险，也没有放弃价格上涨获得收益的机会。
保护性卖权策略就是一种比较简单的避险策略，即投资者期初购买标的资产的同时，直接购买欧式卖权（看跌期权）的保险（放心保）策略。由于目前我国期权工具缺位，保护性卖权策略很难实施，不过，通过期权复制的思想可以间接实施该策略。
如何复制期权
动态复制期权，实际上就是用标的资产的线性变化替代期权的非线性变化。也就是说，用期权价格的导数Delta去逼近其价格，但由于标的资产的价格在变化，使得期权价格的导数也在变化，因此这种替代只能维持很短一段时间，需要不断调整标的资产来维持对期权价格的逼近与模拟。
为了平滑价格波动对标的资产模拟期权的影响，我们采用根据期权Delta系数建立相应避险头寸的方法。Delta值是衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度，用公式表示：Delta=期权价格变化/标的资产价格变化。所谓的Delta，是用以衡量期权标的资产变动时，期权价格改变的百分比。
参考期权Delta系数避险的策略，相当于现货头寸持有人先向自己购买一个虚拟的看跌期权，然后在标的资产上使用Delta中性的避险策略对虚拟卖出期权的头寸进行对冲。例如，投资者持有20手看跌期权空头头寸，每手看跌期权多头头寸的Delta值为-0.4，头寸的Delta为+4，那么投资者可以通过持有4手相应标的资产空头来使整体的Delta值保持为0，从而规避20手看跌期权空头头寸的风险。
根据“Black-Scholes模型”（简称BS模型）公式，期权可以通过Delta策略进行复制，达到完美风险对冲的效果。然而在实际市场环境中，无交易成本、连续对冲是不现实的。在间断对冲的情况下，按照Delta策略构建的投资组合存在对冲误差。调整对冲误差必然会影响到对冲成本。对冲成本是因为有交易成本的存在，Delta对冲的频率与对冲成本成正比。提高对冲频率，虽然理论上对冲效果会更好，但对冲成本会随着对冲频率的提高而加大；降低对冲频率，尽管可以降低对冲成本，但理论上却增加了对冲成本。
（狩猎财经期货频道）
现实中，间断对冲模型主要有固定时点对冲模型和区间对冲模型两种，具体如下：
固定时点对冲模型，即每过一固定时段，重新计算期权的Delta值，进而对期权的对冲比率进行调整。固定时点对冲模型因简单易懂、易操作性，在实务中应用较广，具体有如下两种模型：
Leand模型。1985年Leand给出了在考虑交易成本条件下的对冲模型。该模型是在传统BS模型中，将波动率的计算公式加入一个调整因子，该调整因子与交易成本成正比。
其中，λ为按照交易金额计量的交易成本系数， Δt为对冲的时间间隔，以此调整后的带入BS模型，即得Le-Land对冲模型。
Wilmott模型。Wilmott发现在考虑了交易成本后，因不能连续对冲而产生新的风险。为此，他将BS模型中的波动率修改为：
其中， 为按照交易金额计量的交易成本系数，Δt为对冲的时间间隔。
区间对冲模型，即实时计算期权的Delta值，如果Delta值在可容忍的对冲区间（±Δδ）内，则不进行Delta对冲；如果δ值超出了可容忍的对冲区间，则进行Delta对冲。对冲比率有两种：一是一次性将δ值对冲到0；二是采用最小对冲比率，将δ值对冲到容忍区间的边界（±Δδ）。Whalley&Wilmott采用后者，得出区间对冲区间的计算公式：
其中，为期权价值对δ的敏感性， h是对冲主体的风险偏好系数。
期权复制的理论依据
期权复制的理论依据需要从BS定价公式讲起，下面是无息标的资产的看涨期权与看跌期权的理论价格：
其中S为标的资产价格，X为交割价格，r为无风险利率，T为到期时间，σ是波动率，C是看涨期权，P是看跌期权。
如果用几何布朗运动来描述标的资产价格的变动，可得出：
其中，St 是标的资产价格，μ是标的资产的期望收益率，σ是标的资产的波动率，Wt是Wiener过程，是一个随机过程。
（狩猎财经期货频道）
基于标的资产St 的衍生品的价格为ft ，那么，其价格变动可以表示为：
在以上两个等式中，只有Wiener过程是随机项，那么在市场无套利的假设下，可以构建一个瞬时无风险交易组合Π来消除随机项：
其中，是衍生品价格相对于标的资产价格的一阶导数。这样的组合不含随机项，也就是说它是无风险的。那么，根据市场无套利假设，这样的证券组合必须与其他短期无风险证券具有相同的瞬时收益率，也就是无风险收益率。
通过对上面组合头寸的变性，可以构造这样一个组合，即由一个股票的多头头寸与一部分现金流的空头构成：
并且，二者在任意一个时间点的价值之和都刚好等于一份看涨期权的价值。换言之，可以通过部分标的资产的头寸，以及一部分现金流来复制看跌期权。
影响复制成本的因素
复制的实际效果取决于复制成本和复制精度，本文主要讨论影响期权复制成本的几个因素：调仓频率、交易成本、Gamma、波动率、基差，以及对期权模拟费用的影响与可以采取的应对方法。
调仓频率。Delta是衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度。Gamma衡量标的资产价格变动时，期权Delta值的变化幅度。我们在对冲时一般用日终对冲，然后观察Gamma的变化，如果实值期权Gamma变动很大，那么就加大对冲频率，但成本也会增加。当然，对冲时也可以用现货对冲和期货对冲，二者的成本不一样，用期货对冲，资金占用较少。因此在中长期套保中，动态Delta中性对冲策略的交易成本可能较高，应注意选择触发调整的阈值。我们还可以通过区间对冲模型来调整调仓频率，这样可以大大降低交易成本。
交易成本。备兑期权策略可能需要保证金，应注意预留足够保证金以防范风险。复制期权的成本与理论上的BS公式权利金相近，但由于调仓频率不同、行情形成路径不同等因素，复制期权的最大成本为理论权利金的２倍，最小成本在理论权利金的1/3左右。利用股指期货对股票组合进行避险时，会遇到追缴保证金的问题，当期货价格和现货价格同时上涨时，期货账户因亏损会面临追缴保证金的风险，因此必须预留一部分资金来对期货头寸进行保护，这样就会大大降低资金的利用率。
波动率。波动率是表示股票价格变化快慢的一个指标。就期权来说，波动率包含两个意思：一是标的资产价格的历史波动率；二是隐含在期权价格中的标的资产价格的波动率，这个波动率是投资者对期权存续期内标的资产价格波动的一个预测，所以也叫隐含波动率。
（狩猎财经期货频道）
历史波动率是标的资产价格在最近一段时间内价格变化的标准差，即：
其中Pt为t时刻价格，N为样本长度。在实际计算中，N可以取不同的数值，以计算在不同时间区间内的波动率，当然，取值越大，波动率的变化越平缓。
隐含波动率是隐含在期权价格中的标的资产价格的波动率。由于期权价格与隐含波动率直接存在非线性关系，而这种非线性关系主要是由正态分布函数造成的，因此把正态分布函数用多项式近似，就可得到期权价格与隐含波动率直接的线性关系，从而直接求出隐含波动率。Brenner和Subrahmanyam模型（1988），Corrado和Miller模型（1996），Li模型（2005）分别对隐含波动进行了研究。
波动率的变化直接影响期权对冲策略的最终效果，一般而言，期权对冲策略在标的资产价格下降过程中收益率较高。但是，现实中很难提前准确预判波动率，因此有必要讨论波动率可能带来的模拟偏差与相应的解决方法，主要包括以下三方面内容：一是波动率错估的严重性，波动率的估计值偏高或偏低对模拟费用的影响；二是防止波动率错估带来的风险，可以根据波动率的历史值，不断调整数据得到新的波动率；三是计算隐含波动率。
测试波动率高估或低估一定幅度对复制费用带来的影响，发现波动率低估会导致期权复制费用稍微降低，波动率高估会导致期权复制费用稍微增加，然而，无论是高估还是低估，都会很大幅度上增大复制费用的波动，这对复制期权来说非常不利。
为了防止波动率错估的风险，我们选取历史数据收益率的标准差作为波动率时，可以使准确度更高一些。同时，还可以通过Leand模型和Wilmott模型来调整波动率的准确度。在这里，我们还可以使用隐含波动率，最后通过数据测试哪种波动率最好。
基差。以上讨论了几个影响期权复制费用的因素，在复制看涨期权时需要买入标的资产，而复制看跌期权需要卖出标的资产。由于卖出标的资产需要通过融资的方式卖出，不仅融资利率高，而且融资渠道及数量也没保证，因此需要通过期货替代现货复制期权，这样一来，基差就成为很大的一个风险源。负基差对复制看涨期权有利，而正基差对复制看跌期权有利，但不管怎样，近些年基差的变动有很大的随机性，这对复制期权来说风险很大。
不断调整波动率的对冲策略
我们选取沪深300指数作为标的，选择2011年1月4日到2011年9月23日的数据计算其收益率标准差作为波动率，无风险利率设定为3%。选择2011年8月24日到2011年9月23日的实际交易数据，复制期限为20个交易日的看跌期权，Delta每天调整一次。表1是动态复制期权的调整细节，每次再平衡时间点，根据当时的指数计算出期权的Delta（即复制期权所需要持有的指数头寸），累计的借入资金需要付出的利息，以及累计的资金流出，期末，按照指数的持仓量与当前的累计资金净流出计算出模型期权的费用。
由BS公式计算出看跌期权的价格为61.266，根据表1展示的复制看跌期权的流程，计算出看涨期权的模拟价格为66.0624。由此可以看出，复制是有效的。
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表1：固定波动率为0.189961复制看跌期权
选取固定区间长度，及时更新数据，计算其收益率标准差作为波动率。我们分别计算出2011年8月24日至2011年9月23日的波动率分别为：0.189961，0.192934，0.192875，0.193826，0.193838，0.19259，0.192509，0.192774，0.194465，0.193759，0.189928，0.190169，0.188026，0.184189，0.183529，0.18377，0.183092，0.183859，0.182775，0.186627，0.189552，0.189658。根据动态波动率复制的看跌期权的价格为65.9307，其准确度比使用固定波动率复制的看跌期权价格的准确度要高。
表２：动态波动率复制看跌期权
以上介绍了复制看跌期权的常用方法，使用沪深300指数的历史数据，分别采用固定波动率和浮动波动率对固定时点Delta对冲策略进行实证，并计算追踪误差检验此策略的有效性，发现使用浮动波动率对冲的效果要好些，这为券商和机构投资者提供了一种可行的动态对冲策略。
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以上便是浮动波动率复制期权较固定波动率对冲策略_详细解读的介绍，希望可以帮助到大家的同时想要了解更多期权资讯消息，可关注狩猎财经的更新。
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期权，波动
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